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    1. 2014年全國高考新課標卷I理科數學試題(含答案)word版

      2014 年普通高等學校招生全國統一考試全國課標 I(河南、河北、山西) 理科數學 第Ⅰ卷 (選擇題 共 60 分) 一.選擇題:共 12 小題,每小題 5 分,共 60 分。

      在每個小題給出的四個選項中,只有一項是 符合題目要求的一項。

      1.已知集合 A={ x | x ? 2 x ? 3 ? 0 },B={ x |-2≤ x <2=,則 A ? B = 2 A .[-2,-1] 2. B .[-1,2) C .[-1,1] D .[1,2) (1 ? i )3 = (1 ? i ) 2 A .1 ? i B .1 ? i C . ?1 ? i D . ?1 ? i 3.設函數 f ( x ) , g ( x) 的定義域都為 R,且 f ( x) 時奇函數, g ( x) 是偶函數,則下列結論正確的 是 A . f ( x) g ( x) 是偶函數 C . f ( x) | g ( x) |是奇函數 B .| f ( x) | g ( x) 是奇函數 D .| f ( x) g ( x) |是奇函數 4.已知 F 是雙曲線 C : x2 ? my 2 ? 3m(m ? 0) 的一個焦點,則點 F 到 C 的一條漸近線的距離為 A. 3 B .3 C . 3m D . 3m 5.4 位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動,則周六、周日 都有同學參加公益活動的概率 A. 1 8 B. 3 8 C. 5 8 D. 7 8 6.如圖,圓 O 的半徑為 1,A 是圓上的定點,P 是圓上的動點,角 x 的始邊 為射線 OA ,終邊為射線 OP ,過點 P 作直線 OA 的垂線,垂足為 M ,將點 M 到直線 OP 的距 離表示為 x 的函數 f ( x) ,則 y = f ( x) 在[0, ? ]上的圖像大致為 7.執行下圖的程序框圖,若輸入的 a, b, k 分別為 1,2,3,則輸出的 M = 第 1 頁 共 8 頁

      A. 20 3 B. 16 5 C. 7 2 D. 15 8 8.設 ? ? (0, ? 1 ? sin ? ? ) , ? ? (0, ) ,且 tan ? ? ,則 2 2 cos ? A . 3? ? ? ? 9.不等式組 ? ? 2 B . 2? ? ? ? ? 2 C . 3? ? ? ? ? 2 D . 2? ? ? ? ? 2 ?x ? y ? 1 的解集記為 D .有下面四個命題: ?x ? 2 y ? 4 p2 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? 2 , p4 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?1. p1 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?2 , P 3 : ?( x, y ) ? D, x ? 2 y ? 3 , 其中真命題是 A . p2 , p3 B . p1 , p4 C . p1 , p2 D . p1 , p3 10.已知拋物線 C : y 2 ? 8x 的焦點為 F ,準線為 l , P 是 l 上一點, Q 是直線 PF 與 C 的一個 焦點,若 FP ? 4FQ ,則 | QF | = A. 7 2 3 B. 2 5 2 C .3 D .2 11.已知函數 f ( x) = ax ? 3x ? 1 ,若 f ( x) 存在唯一的零點 x0 ,且 x0 >0,則 a 的取值范圍為 A .(2,+∞) B .(-∞,-2) C .(1,+∞) D .(-∞,-1) 12.如圖, 網格紙上小正方形的邊長為 1, 粗實線畫出的是某多面體的三 視圖,則該多面體的個條棱中,最長的棱的長度為 A.6 2 B .4 2 C .6 D .4 共90分) 第Ⅱ卷(非選擇題 本卷包括必考題和選考題兩個部分。

      第(13)題-第(21)題為必考題,每個考生都必須作 答。

      第(22)題-第(24)題為選考題,考生根據要求作答。

      二.填空題:本大題共四小題,每小題5分。

      13. ( x ? y)( x ? y) 的展開式中 x y 的系數為 8 2 2 .(用數字填寫答案) 第 2 頁 共 8 頁

      14.甲、乙、丙三位同學被問到是否去過 A,B,C 三個城市時, 甲說:我去過的城市比乙多,但沒去過 B 城市; 丙說:我們三人去過同一個城市. 乙說:我沒去過 C 城市; . . 由此可判斷乙去過的城市為 15.已知 A,B,C 是圓 O 上的三點,若 AO ? 1 ( AB ? AC ) ,則 AB 與 AC 的夾角為 2 16.已知 a, b, c 分別為 ?ABC 的三個內角 A, B, C 的對邊, 且 (2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C , a =2, 則 ?ABC 面積的最大值為 . 三.解答題:解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟。

      17.(本小題滿分 12 分)已知數列{ an }的前 n 項和為 Sn ,a1 =1,an ? 0 ,an an?1 ? ? Sn ?1, 其中 ? 為常數. (I)證明: an? 2 ? an ? ? ; (Ⅱ)是否存在 ? ,使得{ an }為等差數列?并說明理由. 18. (本小題滿分 12 分)從某企業的某種產品中抽取 500 件,測量這些產品的一項質量指標值,由 測量結果得如下頻率分布直方圖: (I)求這 500 件產品質量指標值的樣本平均數 x 和樣本方差 s (同一組數據用該區間的中點值 作代表) ; (Ⅱ)由頻率分布直方圖可以認為,這種產品的質量指標值 Z 服從正態分布 N (? , ? ) ,其中 ? 2 2 近似為樣本平均數 x , ? 近似為樣本方差 s . 2 2 (i)利用該正態分布,求 P(187.8 ? Z ? 212.2) ; (ii)某用戶從該企業購買了 100 件這種產品,學 科網記 X 表示這 100 件產品中質量指標值為于區 間(187.8,212.2)的產品件數,利用(i)的結果, 求 EX . 2 附: 150 ≈12.2.若 Z ~ N (? , ? ) ,則 P( ? ? ? ? Z ? ? ? ? ) =0.6826, P(? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ) =0.9544. 19. (本小題滿分 12 分)如圖三棱錐 ABC ? A1B1C1 中, 側面 BB1C1C 為菱形, AB ? B1C . 第 3 頁 共 8 頁

      (I)證明: AC ? AB1 ; (Ⅱ)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60o ,AB=Bc,求二面角 A ? A 1B 1 ? C1 的余弦值. 20. (本小題滿分 12 分) 已知點 A(0, -2) , 橢圓 E : x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的離心率為 ,F 2 a b 2 是橢圓的焦點,直線 AF 的斜率為 (I)求 E 的方程; 2 3 , O 為坐標原點. 3 (Ⅱ)設過點 A 的直線 l 與 E 相交于 P, Q 兩點,當 ?OPQ 的面積最大時,求 l 的方程. 21. (本小題滿分 12 分)設函數 f ( x0 ? ae ln x ? x be x ?1 ,曲線 y ? f ( x) 在點(1, f (1) )處的切 x 線為 y ? e( x ? 1) ? 2 . (I)求 a , b ; (Ⅱ)證明: f ( x) ? 1 . 請考生從第(22) 、 (23) 、 (24)三題中任選一題作答。

      注意:只能做所選定的題目。

      如果 多做,則按所做的第一個題目計分,作答時請用 2B 鉛筆在答題卡所選題號后的 方框涂黑。

      22.(本小題滿分 10 分)選修 4—1:幾何證明選講 如圖,四邊形 ABCD 是⊙O 的內接四邊形,AB 的延長線與 DC 的延長線交于點 E,且 CB=CE (Ⅰ)證明:∠D=∠E;學科網 (Ⅱ)設 AD 不是⊙O 的直徑,AD 的中點為 M,且 MB=MC,證明:△ADE 為等邊三角形. 23. (本小題滿分 10 分)選修 4—4:坐標系與參數方程 ?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1 ,直線 l : ? 已知曲線 C : ( t 為參數). 4 9 ? y ? 2 ? 2t (I)寫出曲線 C 的參數方程,直線 l 的普通方程; (Ⅱ)過曲線 C 上任一點 P 作與 l 夾角為 30 的直線,交 l 于點 A , 求 | PA | 的最大值與最小值. 24. (本小題滿分 10 分)選修 4—5:不等式選講 若 a ? 0, b ? 0 ,且 3 3 o 1 1 ? ? ab . a b (I) 求 a ? b 的最小值; (Ⅱ)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并說明理由. 第 4 頁 共 8 頁

      2014 年普通高等學校招生全國統一考試全國課標 I 答案 1—5ADCAD 6—12 CDCBBCB 13.-20 14.A 15.90°16. 2 17. 【解析】 :(Ⅰ)由題設 an an ?1 ? ? S n ? 1 , an ?1an ? 2 ? ? S n ?1 ? 1 ,兩式相減 an ?1 ? an ? 2 ? an ? ? ? an ?1 ,由于 an ? 0 ,所以 an ? 2 ? an ? ? …………6 分 (Ⅱ)由題設 a1 =1, a1a2 ? ? S1 ? 1 ,可得 a2 ? ?1 ? 1 ,由(Ⅰ)知 a3 ? ? ? 1 假設{ an }為等差數列,則 a1 , a2 , a3 成等差數列,∴ a1 ? a3 ? 2a2 ,解得 ? ? 4 ; 證明 ? ? 4 時,{ an }為等差數列:由 an ? 2 ? an ? 4 知 數列奇數項構成的數列 ?a2 m ?1? 是首項為 1,公差為 4 的等差數列 a2 m ?1 ? 4m ? 3 令 n ? 2m ? 1, 則 m ? n ?1 ,∴ an ? 2n ? 1 (n ? 2m ? 1) 2 數列偶數項構成的數列 ?a2 m ? 是首項為 3,公差為 4 的等差數列 a2 m ? 4m ? 1 令 n ? 2m, 則 m ? n ,∴ an ? 2n ? 1 (n ? 2m) 2 ∴ an ? 2n ? 1 ( n ? N * ) , an ?1 ? an ? 2 因此,存在存在 ? ? 4 ,使得{ an }為等差數列. ………12 分 18. 【解析】 :(Ⅰ) 抽取產品質量指標值的樣本平均數 x 和樣本方差 s 2 分別為 x ? 170 ? 0.02 ? 180 ? 0.09 ? 190 ? 0.22 ? 200 ? 0.33 ? 210 ? 0.24 ? 220 ? 0.08 ? 230 ? 0.02 ? 200 s 2 ? ? ?30 ? ? 0.02 ? ? ?20 ? ? 0.09 ? ? ?10 ? ? 0.22 ? 0 ? 0.33 2 2 2 ? ?10 ? ? 0.24 ? ? 20 ? ? 0.08 ? ? 30 ? ? 0.02 2 2 2 ? 150 (Ⅱ) (ⅰ)由(Ⅰ)知 Z ~ N (200,150) ,從而 …………6 分 P(187.8 ? Z ? 212.2) ? P(200 ? 12.2 ? Z ? 200 ? 12.2) ? 0.6826 ………………9 分 (ⅱ)由(ⅰ)知,一件產品中質量指標值為于區間(187.8,212.2)的概率為 0.6826 第 5 頁 共 8 頁

      依題意知 X B(100, 0.6826) ,所以 EX ? 100 ? 0.6826 ? 68.26 ………12 分 19. 【解析】 : (Ⅰ)連結 BC1 , 交 B1C 于 O, 連結 AO. 因為側面 BB1C1C 為菱形, 所以 B1C ? BC1 , 且 O 為 B1C 與 BC1 的中點.又 AB ? B1C ,所以 B1C ? 平面 ABO ,故 B1C ? AO 又 B1O ? CO ,故 AC ? AB1 (Ⅱ)因為 AC ? AB1 且 O 為 B1C 的中點,所以 ………6 分 又因為 ,所以 ?BOA ? ?BOC 故 OA⊥ ,從而 OA,OB, OB1 兩兩互相垂直. 以 O 為坐標原點,OB 的方向為 x 軸正方向,OB 為單位長, 建立如圖所示空間直角坐標系 O- xyz . 因為 ?CBB1 ? 600 , 所以 ?CBB1 為等邊三角形.又 ,則 ? ? ? 3? 3 ? 3 ? , B ?1, 0, 0 ? , B1 ? 0, , C ? 0, ? A? 0, 0, , 0 ,0? ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3? 3? 3 ? , A1 B1 ? AB ? ? 1, 0, ? AB1 ? ? 0, , ? , B C ? BC ? ? 1, ? ,0? ? ? ? 1 1 ? 3 ? ? ? ? ? 3 3 3 ? ? ? ? ? ? 設 n ? ? x, y , z ? 是平面的法向量,則 ? ?n ? ? ?n ? 3 3 y? z?0 ? AB1 ? 0 ? 3 3 ,即 ? A1 B1 ? 0 ?x ? 3 z ? 0 ? 3 ? 所以可取 n ? 1, 3, 3 ? ? ? 設 m 是平面的法向量,則 ? ?m A1 B1 ? 0 ? ? ?n B1C1 ? 0 ,同理可取 m ? 1, ? 3, 3 ? 則 cos n, m ? nm n m ? 1 1 ,所以二面角 A ? A1 B1 ? C1 的余弦值為 . 7 7 2 2 3 ,得 c ? 3 ? c 3 又 20. 【解析】(Ⅰ) 設 F ? c, 0 ? ,由條件知 c 3 , ? a 2 第 6 頁 共 8 頁

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